포트폴리오 최적화 관련 이론

현대 포트폴리오 이론

현대 포트폴리오 이론 (Modern, Portfolio Theory, MPT) 또는 평균 분산 분석은 주어진 투자 금액에 대해서 위험에 대한 수익을 극대화하는 것을 목표로하는 포트폴리오를 개발하고 생성하기 위한 수학적 모델입니다.

MPT 기반의 모델은 대부분의 사람이 덜 위험한 포트폴리오를 선호한다는 가정과 경험을 기반으로합니다. 위험 완화는 기존의 안전한 피난처에 투자하거나 투자처의 다각화를 통해 달성 할 수 있습니다.

MPT는 1950년대에 Henry Markowitz에 의해 도입되어 노벨상을 수상했습니다. MPT가 비즈니스와 경제의 불가항력/추세를 고려할 수 없기는 무능력으로 인해 상당한 비판을 받았습니다. 하지만, MPT가 변동성을 측정하여 포트폴리오 보유의 위험을 측정하는 프록시 도구로써 유용하게 사용될 수 있음이 발견되었습니다.

포트폴리오 기대 수익

포트폴리오의 기대 수익은 각각의 자산 가중치에 수익을 곱한후, 모든 자산의 가치를 합산하여 계산합니다. 비즈니스 및 경제 상황을 반영한 특징을 이용해서 확률을 계산하고, 이를 기반으로 미래 가치 예측을 할 수도 있습니다. 다음 동식은 포트폴리오 기대 수익을 계산하는 공식입니다.

$E(R_p) = \sum_i w_i E(R_i)$

Sharpe 비율

Sharpe 비율은 무위험 금리 (재무 금리) 및 위험 프로필과 관련하여 투자 수익을 측정합니다. 일반적으로 Sharpe 비율의 값이 높을수록 더 좋은 투자 수익을 얻을 수 있습니다. 따라서 위험이 유사한 두 포트폴리오를 비교할 경우 (다른 모든 포트폴리오가 동일하다면) Sharpe 비율이 더 높은 포트폴리오에 투자하는 것이 좋습니다. Sharpe 비율은 아래 공식을 통해서 계산할 수 있습니다.

$\frac{R_p - R_f}{\sigma_p}$

여기서, $R_p$는 포트폴리오의 수익, $R_f$는 무위험 수익, $\sigma_p$는 포트폴리오의 변동성에 제곱근을 의미합니다.

효율적 투자선

효율적 투자선 개념은 1950 년대에 뿌리를두고 있으며 MPT의 핵심입니다. 효율적 투자선은 주어진 위험 수준에 대해 가능한 가장 높은 기대 수익을 제공하거나 원하는 기대 수익에 대해 가장 낮은 위험을 제공하는 최적의 포트폴리오 세트입니다. 효율적 투자선 아래의 포트폴리오는 위험 수준에 대한 충분한 수익을 제공하지 않기 때문에 차선책입니다.

수익은 포트폴리오에 결합된 투자에 따라 다릅니다. 효율적 투자선의 오른쪽에 있는 사람들은 정의된 수익률에 대해 더 높은 위험 수준을 가지고 있습니다. 위험을 추구하는 투자자는 이러한 포트폴리오를 살펴보고 위험을 회피하는 투자자는 왼쪽에있는 포트폴리오를 살펴 봅니다.
이 모델의 경우 자산 수익률의 표준 편차를 위험 척도로 간주합니다. 포트폴리오 증권 간의 공분산이 낮으면 포트폴리오 표준 편차가 작아집니다. 따라서 효율적인 프론티어를 구성하는 최적의 포트폴리오는 다각화 정도가 더 높은 경향이 있습니다. 연간 복합 성장률은 수익 구성 요소에 대한 일반적인 선택이며 연간 표준 편차는 관련 위험을 나타냅니다.

투자 자산간의 동기화 속도가 낮을수록 (공분산이 낮음) 표준 편차와 위험이 낮아집니다. 이러한 수익 대 위험 최적화가 성공하면 포트폴리오는 효율적 투자선상에 놓일 것입니다. 이 곡선은 분산화가 투자자의 위험 / 보상 프로필을 어떻게 개선하는지 보여주는 데 필수적입니다. 아래 그래프에서와 같이 위험과 수익은 비선형 관계 입니다. 

자본시장선

이론적으로 자본시장선(Capital Market Line, CML)에 속하는 포트폴리오는 위험/수익 관계를 최적화하여 성과를 극대화합니다. 자본 배분 라인(Capital Allocation Line, CAL)은 투자자를 위해 무위험 자산과 위험한 포트폴리오의 할당을 구성합니다. CML은 위험 포트폴리오가 시장 포트폴리오인 CAL의 특별한 경우입니다. 따라서 CML의 기울기는 시장 포트폴리오의 날카로운 비율입니다. 일반화로 Sharpe 비율이 CML보다 높으면 자산을 매수하고 Sharpe 비율이 CML보다 낮 으면 매도합니다.

CML은 무위험 투자를 포함한다는 점에서보다 효율적 투자선과 다릅니다. CML의 인터셉트 포인트와 효율적인 프론티어는 탄젠시 포트폴리오라고하는 가장 효율적인 포트폴리오를 만듭니다.

탄젠시 포인트는 시장 포트폴리오로 알려진 위험 자산의 최적 포트폴리오입니다. 평균 분산 분석의 가정하에, 투자자는 주어진 분산 위험에 대해 기대 수익을 극대화하고 무위험 수익률이 있음을 확인합니다. 모든 투자자는 CML에있는 포트폴리오를 선택합니다.

Tobin의 분리 정리에 따르면 시장 포트폴리오와 해당 시장 포트폴리오와 무위험 자산의 최상의 조합을 찾는 것은 별도의 문제입니다. 개별 투자자는 위험 회피에 따라 무위험 자산만 보유하거나 무위험 자산과 시장 포트폴리오의 일부 조합을 보유하게됩니다. 투자자가 CML을 올리면 전체 포트폴리오 위험과 수익이 증가합니다. 위험 회피 투자자는 위험이없는 자산에 가까운 포트폴리오를 선택하여 높은 수익보다 낮은 분산을 선호합니다. 덜 위험을 싫어하는 투자자는 기대 수익이 높지만 변동이 더 큰 CML에서 더 높은 포트폴리오를 선호합니다. 무위험 이자율로 자금을 빌리면 투자 가능한 자금의 100 % 이상을 위험한 시장 포트폴리오에 투자하여 예상 수익률과 시장 포트폴리오가 제공하는 것 이상으로 위험을 높일 수 있습니다.